Étude de bifurcation de hopf-hopf avec résonance 1:2 pour un système de deux neurones couplés avec délais.

Abstract

Nous montrons que pour un système de deux neurones couplés avec multiples délais et dont les influences mutuelles et rétroactives sont données par des fonctions non-linéaires, monotones, croissantes ou décroissantes selon le cas, la solution triviale peut subir une bifurcation de Hopf-Hopf, tel qu'il y a une résonance 1:2 entre les deux modes de Hopf. Nous obtenons de l'analyse linéaire du système la famille des valeurs critiques des paramètres pour lesquelles le système subit une bifurcation de Hopf-Hopf avec résonance 1:2. Nous ferons de plus une étude de la stabilité de l'origine afin de montrer que l'origine est toujours instable près des valeurs critiques des paramètres pour lesquelles il y a une bifurcation de Hopf-Hopf avec résonance 1:2. Nous commentons ensuite des simulations numériques qui illustrent une cascade de dédoublements de période rarement observée dans le cas d'équations aux délais. Finalement, nous procédons à la réduction du système à sa variété du centre puis nous ramenons les équations obtenues sous une forme normale pour une bifurcation de Hopf-Hopf avec résonance 1:2.