De l'existence d'hypertores près d'une bifurcation de Hopf-Hopf avec résonance 1:2

Abstract

Nous considérons un système d'équations différentielles x = f ( x , α), où x ∈ [Special characters omitted.] , n ≥ 4 est une fonction du temps et où α ∈ [Special characters omitted.] , p ≥ 3 est un paramètre. Nous supposons que ce système est tel qu'à α = α 0 , f possède un point d'équilibre non-hyperbolique x 0 et que le jacobien de f évalué en ( x 0 , α 0 ) possède exactement deux paires de valeurs propres conjuguées strictement imaginaire, ± i ω et ±2 i ω. Ces conditions caractérisent la bifurcation de Hopf-Hopf avec résonance 1:2.

Nous allons démontrer qu'arbitrairement près de cette bifurcation il peut se produire, selon la valeur de certaines dérivées de f , une bifurcation secondaire de type point limite/Hopf dans les équations d'amplitude de la forme normale tronqué, et que cette bifurcation induit la création d'un hypertore dans le système x = f ( x , α). Nous effectuons également des simulations numériques pour venir appuyer nos résultats théoriques.