Étude de trois questions d'approximation diophantienne

Abstract

Cette thèse en approximation diophantienne se divise en deux parties. La première concerne la géométrie paramétrique des nombres introduite récemment par W. M. Schmidt et L. Summerer. Cette théorie décrit, à des fonctions bornées près, le comportement des minimas successifs d'une famille de corps convexes à un paramètre, à savoir celle qui intervient naturellement dans les problèmes d'approximation rationnelle simultanée de nombres réels linéairement indépendant sur Q. Nous démontrons dans le cas d'un seul nombre que le comportement qualitatif des deux minima est équivalent à la donnée du développement en fraction continue de la distance de ce nombre à l'entier le plus proche. Nous nous intéressons aussi à une conjecture de Schmidt de 1983 démontrée par N. Moshchevitin en 2012, et nous l'améliorons. De plus, nous démontrons que notre amélioration est meilleure possible. La seconde partie de la thèse concerne les nombres extrémaux introduits par D. Roy en 2003. Ces nombres sont transcendants réels et se comporte similairement aux nombres quadratiques réels quant à certaines propriétés d'approximation diophantienne. On peut leur associer une suite canonique de matrices symétriques à coefficients entiers. Dans leur papier [23], D. Roy et E. Villani considèrent une classe particulière de nombres extrémaux et étudient les suites de matrices correspondantes à la fois d'un point de vue analytique et d'un point de vue algébrique. Nous considérons ici une classe plus restreinte de nombres extrémaux, dits de type Markoff. Nous commençons par établir une conjecture qui généralise les résultats de Roy et Villani, sur la base de résultats numériques. Cette conjecture dépend d'une quantité entière appelé degré, et nous la démontrons en degré au plus 6. La preuve dépend d'une construction, elle-même valide en tous degrés.